MOS 커패시터에서의 전위차

반도체 내에 특수한 상태를 형성시키는 게이트 전압들에 대해서 알아보자. 또한, 이상화된 소자가 아니라 실제적인 MOS 구조에 대해서도 고려해보자.
 전압이나 전위차와 함께 전기장은 MOS 소자에서 중요한 의미가 있다. Poisson의 방정식에서 전기장이 전위의 변화율에 비례하였음을 상기해보자. 전자의 에너지는 E = -e*(일 함수)로 주어진다. 따라서 전기장과 에너지 사이의 관계식은 에너지 대역이 구부러지면 전기장이 형성되게 되며, 역으로 전기장이 존재하면 에너지 대역에 구부러짐이 있어야 함을 간단히 설명하고 있다.

[일 함수의 차이]
반도체 물질에서의 에너지 밴드 모식도에 대해 다루어보자. 그 전에, 일 함수와 관련하여 몇 가지 암기 사항이 있다. 금속의 일 함수는 물질마다 고유의 값을 가지며, 콰이는 산화물의 전자 친화도이고, SiO2에서는 0.9V이다.
 게이트 전압이 0V일 때 금속-산화물-반도체 구조 전체에서의 에너지 밴드 모식도를 그려보자. 열적 평형 상태에서 페르미 레벨은 구조 전체에서 일정한 값을 갖는다. 이 평형 상태를 만드는 방법으로 게이트 금속과 p형 기판 사이에 전선을 연결할 수 있을 것이다. 이 경우에 정공들이 반도체에서부터 게이트 금속으로 흘러 들어가게 되며 평형 상태가 될 때까지 게이트의 전위를 증가시키게 될 것이다. 여기서 변화된 금속의 일 함수를 정의할 수 있으며, 이 값은 금속에서부터 산화물의 conduction band로 전자를 주입하기 위해 인가해야 하는 전위이다. 이와 유사하게 변화된 전자 친화도도 정의된다. 

 산화물 위에 degeneration 될 정도로 도핑이 된 폴리 실리콘을 증착한 것도 게이트 금속으로 사용될 수 있다. n+ 폴리 실리콘 게이트와 p형 기판을 이용한 MOS 커패시터에서 에너지 밴드 모식도를 볼 수 있다. 
 그러나 degeneration 된 n+ 폴리 실리콘과 p+ 폴리 실리콘의 경우에 페르미 레벨이 0.1V에서 0.2V 정도 conduction band energy 위에 있거든 valence band energy 아래에 존재할 수 있다. 따라서 실험적으로 구한 값은 약간 다를 수 있다.

 위에서는 p형 반도체 기판을 이용한 경우에 대해 고려하였으며, n형 반도체 기판을 이용한 MOS 커패시터에 대해서도 같은 과정을 거칠 수 있다. 금속 게이트와 n형 반도체 기판으로 구성된 MOS 커패시터의 경우는 게이트에 음의 전압이 인가되어 있다. 

 게이트의 종류에 따른 일 함수의 차이를 반도체의 도핑에 관한 함수로 나타낼 수 있다. 폴리 실리콘 게이트에 대한 일 함숫값을 보면, 식을 통해 구한 값보다 약간 큰 것을 알 수 있다. 이 차이는 degeneration 된 폴리 실리콘 게이트의 페르미 레벨이 n+게이트에서는 conduction band의 에너지와 같지 않고, p+게이트에서는 valence band의 에너지와 같지 않기 때문에 발생한다. 이 금속 반도체 일 함수 차이는 밴드 평탄화와 문턱 전압 특성 변수들에 관한 논의에서 중요하게 사용될 것이다.

[산화물 전하]
지금까지의 논의에서는 산화물 내의 net current 밀도를 0으로 가정하고 있었다. 그러나 이 가정은 올바르지 않다. 절연체에 고정 전하가 존재할 수 있기 때문이다. 산화물 내에 존재하는 고정 전하는 일반적으로 양전하인데, 이것은 산화물 반도체 계면에서 나타나는 공유결합의 깨짐이나 댕글링 결합에 의한 것이다. SiO2의 열적 형성과정에서 산소 원자들이 산화물을 통해 확산하여 Si-SiO2 계면에서 SiO2를 형성하게 된다. SiO2를 형성하는 반응이 일어나기 전에 실리콘 원자들이 결정에서부터 분리된다. 산화 공정이 끝나게 되면, 반응되지 못한 실리콘 원자들은 계면 근처의 산화물 내에 남아 댕글링 결합을 형성하게 되는 것이다. 산화물 내에 존재하는 전하의 양은 일반적으로 분위기 기체나 온도와 같은 산화 공정 조건에 밀접하게 연관된 것으로 보인다. 산화물 내의 전하 밀도는 아르곤이나 질소 분위기에서 열처리하는 것으로 어느 정도 변화시킬 수 있으나 0으로 만드는 것은 거의 불가능하다.
 산화물의 고정 전하는 산화물 반도체계면 매우 가까이에 형성되는 것으로 보인다. 따라서 MOS 커패시터의 분석에서는 등가 전자가 산화물 반도체 계면에 바로 인접하여 위치하는 것으로 가정할 것이다. 그리고 소자 내에 존재할 수 있는 산화물 타입의 전하들 나머지는 무시할 것이다. 특성 변수 전하는 일반적으로 단위 면적당 존재하는 전하의 양을 그에 상응하는 전자의 수로 표현된다.
 산화물 반도체 계면에도 계면 전하가 존재한다. 

[밴드 평탄화 전압]
밴드 평탄화 전압은 반도체 내에 존재하는 밴드의 구부러짐을 상쇄시키기 위해 인가해주어야 하는 게이트 전압으로, 전압이 인가되었을 때 총 공간 전하량은 0이 된다. 일 함수의 차이와 산화물 내에 구속된 전하의 존재 때문에 산화물에 걸리는 전압은 반드시 0이지는 않다.
 다음은 게이트 전압으로 0이 인가되었을 때에 대해 나타내고 다음과 같이 쓰일 수 있다.
 (산화물에 걸리는 전압) + (반도체의 일 함수)  = -(금속-반도체의 일 함수)
게이트 전압이 인가되면 산화물 양단 간의 전위차와 계면 전위가 바뀌게 된다. 따라서, 반도체 내의 net current양이 0이므로 계면 고정 전하 밀도가 산화물 내에 존재한다고 가정할 수 있을 것이다. 금속에 대전 된 전하의 밀도를 이용하여 전하 중성 상태를 통해 두 전하의 합이 0임을 구할 수 있다.
 VG = VFB = -(Vox+반도체 일 함수)-Q/Cox
이 MOS 소자의 밴드 평탄화 전압이다.

 

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