Carrier Diffusion - 확산 메커니즘과 확산 전류

반도체에 전류를 유기할 수 있는 drift에 더하여 두 번째 기구가 있다. 고전 물리적 예로써 용기가 얇은 막에 의하여 두 칸으로 분리되어 있다고 생각할 수 있다. 왼쪽은 어떤 특정 온도에서 기체 분자를 포함하고 있고 오른쪽은 처음에 비어있다. 기체 분자들은 연속적인 무작위 열운동을 하여 얇은 막이 부러지면 오른쪽 칸을 향하여 기체 분자들의 net current가 일어나게 된다. Diffusion이란 높은 농도의 영역에서 낮은 농도의 영역으로 입자들이 흐르는 과정을 말한다. 만약 기체 분자들이 전기적으로 대전 되어 있으면 순 전하 흐름은 diffusion 전류를 유발한다.

[diffusion current density]
반도체에서의 확산 과정을 이해하기에 앞서 전자 농도가 1차원상에서 변화한다고 가정한다. 온도는 균일하여 전자의 평균 열속도는 x에 독립적이라고 가정한다. 전류를 계산하기 위하여 x=0에서 면을 가로지르는 단위 면적당 단위 시간당 순 전자들의 흐름을 결정한다. 
전자들의 절반은 어떤 한순간에 우측으로, 절반은 좌측으로 일정 시간 동안 각각 이동할 것이다. 전자 확산 전류는 전자 농도의 공간 미분 혹은 밀도 경사도에 비례한다.
 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로의 전자 확산은 음의 x 방향으로 흐르는 전자들의 플럭스를 만든다. 전자는 음의 전하를 가지기 때문에, 관습적인 전류 방향은 양의 x 방향이다. 이처럼 일차원적일 때 전자 확산 전류 밀도는 다음과 같다.
 (전자의 확산 전류 밀도) = (전자의 크기)*(전자 확산 계수)*(거리에 따른 전자 밀도의 변화)
전자 밀도 경사도가 음이 되면 전자 확산 전류는 음의 x 방향이 될 것이다.
높은 농도에서 낮은 농도 영역으로의 정공의 확산은 음의 x 방향 정공 플럭스를 발생시킨다. 정공은 양으로 대전 되어 있는 입자이므로 확산 전류 밀도는 역시 음의 x 방향이다. 정공 확산 전류 밀도는 정공 밀도 경사도와 전자 전하에 비례하므로, 일차원일 때
 (정공의 확산 전류 밀도) = -(전자의 크기)*(정공 확산 계수) * (거리에 따른 정공 밀도의 변화)
만일 정공 밀도 기울기가 음이 되면 정공 확산 전류 밀도는 양의 x 방향이 될 것이다.

[전체 전류 밀도]
반도체 내에는 이제 네 가지 독립적인 전류기구가 있음을 안다. 그들은 전자의 drift와 확산 전류 및 정공의 drift와 확산 전류들이다. 전체 전류 밀도는 이들 네 가지 성분의 합으로 표시할 수 있다.
 전자 이동도는 반도체 내의 전자가 전계로부터 받는 힘으로 어떻게 잘 움직이는가를 나타내는 것이다. 전자 확산 계수는 전자가 반도체 내에서 밀도 경사에 의하여 어떻게 잘 움직여 나가는가를 나타낸다. 전자 mobility와 확산 계수는 서로 독립적인 파라미터가 아니다. 이와 마찬가지로 정공 mobility와 확산 계수도 서로 독립적인 파라미터가 아니다. mobility와 확산 계수 사이의 관계는 나중에 다룰 것이다. 반도체 내의 전체 전류는 4개의 항으로 표현한다. 다행히도 대부분은 반도체 내에서 어떤 한순간에 어떤 한 특정 점에서 단지 한 항만을 고려할 필요가 있는 것이다.

[경사형 불순물 분포]
지금까지 대부분은 반도체가 균일하게 도핑되어 있다고 가정하였다. 그러나 많은 반도체 소자들에 있어서는 불균일하게 도핑된 영역들이 있을 수 있다. 불균일하게 도핑된 반도체가 어떻게 열평형 상태에 도달하는가를 조사하고 이 해석으로부터 mobility와 확산 계수를 상관 지어 주는 아인슈타인 관계식을 유도하고자 한다.

[유도 전계]
donor 불순물 원자들로 불균일하게 도핑된 반도체를 고려하자. 만일 반도체가 열평형 상태에 있다면, 페르미 에너지 레벨이 결정체 전역에 일정하여 에너지 밴드 다이어그램이 정성적으로 보일 것이다. 도핑 농도는 이 경우 x가 증가하면 증가한다. -x 방향으로 고농도 영역에서 저농도 영역으로 다수 carrier인 전자들의 확산이 일어날 것이다. 음전하인 전자들의 흐름은 양전하를 띤 donor 이온들을 뒤로 남겨둔다. 음전하와 양전하의 분리는 확산 과정과 반대 방향으로 전계를 유도한다. 평형상태에 도달하면, carrier 농도는 고정된 불순물 농도와 정확하게 같지 않으며 유도 전계가 그 이상의 전하 분리를 방해한다.
 흥미로운 대부분은, 이와 같은 확산 과정에 의하여 유도된 공간 전하는 불순물 농도의 한 작은 부분이어서, 이동 carrier 농도는 불순물 도핑농도와 크게 다르지 않다는 것이다. 에너지 밴드 다이어그램을 고려해보면, 전자 에너지는 양의 수직축에 그려져 있어서, 양의 전위는 아래로 향하여 그려져 있음을 알 수 있다.
 
[아인슈타인 관계식(The Einstein Relation]: mobility와 확산계수와의 관계를 나타내는 식
만약 에너지 밴드 다이어그램을 보여주는 불균일하게 도핑된 반도체가 있다고 가정하고, 전기적인 연결이 없는 열평형 상태라고 한다면 전자와 정공 전류는 각각 제로가 된다.
만일 준 중성이라고 가정하여 (전자의 밀도) = (donor의 수)라고 하면,
 (전자의 전류 밀도) = 0 = (전자의 크기)*(전자의 이동도)*(거리에 따른 donor의 양)*(전계) + (전자의 크기)*(전자의 확산계수)*(거리에 따른 donor의 밀도)
라고 쓸 수 있다.
 확산 계수와 이동도 는 독립적인 파라미터가 아니다. mobility와 확산 계수 간의 관계가 아인슈타인 관계식이다.
주된 온도의 영향들은 격자 산란과 이온화된 불순물 산란이란 것을 염두에 두는 것이 중요하다. 이동도 는 산란과정에 강한 온도함수이므로, 확산 계수들 역시 강한 온도 함수이다. 

 

MOS 커패시터에서의 전위차

MOSFET 기초

금속-반도체 옴(Ohm) 접촉

금속-반도체 접촉(쇼트스키 접합)

pn접합의 기본 구조