반송자(Carrier) 이동과 과잉 반송자(Extra Carrier) 현상 - Drift, Diffusion

[역사적 시각]
옴의 법칙은 1826년 Georg Simon Ohm에 의해 만들어졌으며 저항, 전압, 전류의 중요한 전기적 상관관계를 나타내주고 있다. 그런데 전자는 1890년대까지도 발견되지 않았다. 프랑스 물리학자 Jan Baptiste Perrin이 진공관 속에서의 전류는 음전하 입자들로 구성되어 있다는 사실을 보여주었다. 1900년대 초엽 금속 내부의 전자들은 전압이 인가될 때 자유롭게 움직인다는 생각이 금속에서의 전류 메커니즘으로서 연구됐다. 1928년에 Felix Bloch가 양자역학을 주기적 위치 함수에 적용하여 주기적인 결정체 속에서의 자유전자에 관한 개념을 보여주었다. 반도체에서 전자와 정공들의 이동은 반도체 소자 성능을 좌우하는 중요한 성질이다.

[Carrier drift]
반도체에 인가된 전계는 전자와 정공들에 힘을 주어 conduction band와 valence band에 허용된 에너지 상태가 있을 때 그들을 가속하고 움직인다. 전계에 의한 전하의 순 움직임을 표동(drift)라고 한다. 전하의 순 표동은 표동 전류(drift current)를 일으킨다.

[표동 전류 밀도(drift current density)]
만약 평균 표동 속도 VD에서 움직이는 양의 체적 전하 밀도가 있다면 표동 전류 밀도는 다음과 같이 주어진다.
 (표동 전류 밀도) = (체적 전하 밀도) * (평균 표동 속도)
여기서 표동 전류 밀도의 단위는 C/cm^2*s나 A/cm^2이다. 
전계가 존재하는 곳에서 양전하인 정공의 운동 방정식은 다음과 같다.
 F = (정공의 유효질량) * (가속도) = (전자의 크기) * (전계)
만일 전계가 일정하다면, 속도는 시간에 따라 선형적으로 증가할 것이다. 그러나 반도체 내에서 전하 입자들은 이온화된 불순물 원자들 및 열적 진동을 하는 격자 원자들의 파동들과 충돌에 참여하게 된다. 이러한 충돌 혹은 산란 현상들은 입자의 속도 특성들을 변화시킨다.
 정공이 결정체 내에서 전계에 의하여 가속되면 속도가 증가하게 된다. 예를 들면 전하입자가 결정체 내에서 한 원자와 충돌할 때 그 에너지를 전부 혹은 대부분 잃게 된다. 입자는 다시 가속되기 시작하여 산란과정에 다시 포함될 때까지 에너지를 얻게 된다. 이와 같은 과정이 연속적으로 계속하여 지속한다. 이와 같은 과정을 통하여 입자는 평균 표동 속도(vd)를 얻게 되고 전계가 약할 때 표동 속도(vd)는 전계에 직접적으로 비례하게 되므로 아래 식이 성립한다.
 (표동 속도) = (정공의 이동도, 비례상수) * (전계)
이동도는 전계에 의하여 입자가 어떻게 잘 이동하는가를 나타내기 때문에 반도체의 중요한 파라미터이다. 이동도의 단위는 일반적으로 cm^2/V*s이다.
정공들에 의한 표동 전류는 주어진 전계 방향과 일치한다.
 전자들에 관해서도 표동에 관한 것을 같이 적용할 수 있으며, 그 결과는 아래 식과 같다.
 (전자의 표동 전류밀도) = (체적 전하 밀도) * (전자들의 평균 표동 속도)
전자들의 평균순 전하 밀도는 음(-e)이다. 한 전자의 평균 표동 속도는 역시 전계가 작을 때 전계에 비례한다. 그런데 전자는 음으로 대전 되어 있으므로 전자의 순 움직임은 전계 방향에 반대이다. 그래서 다음 식을 쓸 수 있다.
 (전자의 표동 속도) = -(전자 이동도, 양의 값) * (전계)
비록 전자 이동이 반대 방향일지라도 일반적인 전자의 표동 전류는 작용한 전계와 같은 방향이다.
 전자와 정공 이동도들은 온도와 도핑 농도의 함수이다. 
전자들과 정공들은 모두 표동 전류에 이바지하기 때문에 전체 표동 전류 밀도는 전자 및 정공 표동 전류 각각의 합으로써 다음과 같이 된다.
 (표동 전류 밀도) = (전자 e) * (전자의 이동도*전자의 수 + 정공의 이동도*정공의 수)*(전계)

[이동도 효과들]
위에서 우리는 전계에 관계되는 carrier의 평균 표동 속도를 상관 짓는 이동도에 관한 것을 정의하였다. 전자와 정공의 이동도는 carrier 표동 특성을 결정짓는 중요한 반도체 파라미터이다.
 공급된 전계가 0일 경우, 반도체 내에서 정공의 무작위 열속도와 운동에 대해 생각해보자. 운동 방향들은 산란(충돌) 때문에 변경된다. 충돌 사이엔 평균 시간이 있다. 작은 전계(electric field)가 주어지면 전계 방향으로 정공의 순 표동이 일어나며, 순 표동 속도는 무작위 열속도에 작은 변동을 일으킨다. 충돌들 사이의 시간은 크게 변화되지 않는다.
 정공 충돌들 사이의 평균 시간은 충돌 혹은 산란이 일어나기 직전의 평균 최대 속도가 된다.
 그런데 충돌과정은 간단하지 않고 본질에서 통계적이다. 통계적인 분포 효과를 포함하는 보다 정교한 모델에서는 계수 1/2이 나타나지 않는다. 
 반도체 내에는 carrier 이동도에 영향을 미치는 주요한 2개의 충돌 혹은 산란 기구가 있다. 격자 산란과 이온화된 불순물 산란이다.
 반도체 결정체 속의 원자들은 절대온도 0도 이상에서 어느 정도의 열에너지를 갖고 있으며 이들이 원자가 결정체 내의 격자 위치 부근에서 무작위적으로 진동을 하게 한다. 격자 진동은 완전한 주기적 전위함수의 와해를 일으킨다. 고체 내의 완전한 전위 함수는 전자들이 결정체를 통하여 저항을 받지 않고, 혹은 산란 없이 이동하게 한다. 그러나 열 진동은 전위함수의 와해를 유발하여 전자들과 정공들이 충돌하게 하고, 격자 원자들이 진동하게 한다. 이와 같은 격자 진동을 격자 산란이라고 한다.
 격자 진동이 원자들의 열운동에 상관되기 때문에 산란이 발생하는 비율은 온도 함수이다. 격자 산란에 의한 이동도는 온도가 감소함에 따라 증가한다. 직관적으로 격자 산란들은 온도가 감소하면 격자 산란 확률을 낮추어서 이동도를 증가시킬 것이라고 여겨진다.

 

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