페르미 에너지(Fermi Energy) 준위의 위치 - 도핑과 온도의 효과, 소자 제작 기술

[도핑 농도 및 온도에 따른 EF의 변화]
페르미 에너지 준위의 위치를 도핑 농도의 함수로 그려볼 수 있다. 도핑이 증가하면 n형의 경우는 conduction band 쪽으로, p형의 경우는 valence band 쪽으로 페르미 에너지 준위가 접근한다. 페르미 에너지 준위에 대한 식은 볼츠만 근사를 가정한 것임을 기억하자.
페르미 에너지와 온도와의 관계를 살펴보자. 진성 carrier 농도 Ni는 온도에 따라 큰 영향을 받고 따라서 EF도 온도의 함수가 된다. Si에서 몇 가지 donor 및 억셉터 농도에 대해 온도에 따른 페르미 에너지 준위의 변화를 생각해보자. 온도가 올라가면 Ni도 커지고 EF는 진성 페르미 준위로 접근한다. 고온에서는 반도체가 불순물 반도체로서의 특성을 잃고 진성 반도체처럼 행동하기 시작한다. 아주 낮은 온도가 되면 동결이 발생하고 볼츠만 근사는 더는 유효하지 않으며 우리가 유도한 페르미 준위 위치에 대한 식도 사용할 수 없다. 동결이 발생하는 저온에서는 페르미 준위가 n형의 경우 Ed보다 위, p형의 경우 Ea보다 아래에 존재한다. 절대온도 0도가 되면 EF보다 아래에 있는 모든 에너지 상태는 전부 채워져 있고 EF보다 위에 있는 모든 상태는 비어있게 된다.

[페르미 에너지의 연관성]
지금까지 페르미 에너지 준위의 위치를 도핑 농도 및 온도의 함수로 계산했다. 이러한 분석은 약간은 임의적이고 허구적인 것처럼 보인다. 그러나 이러한 연관성은 pn 접합이나 나중에 우리가 다루게 될 반도체 소자에 관한 논의에서 매우 중요하게 될 것이다. 중요한 점은 열평형 상태에서 페르미 준위는 전 시스템에 걸쳐 일정하다는 것이다. 우리는 이 사실을 증명하지는 않겠지만 다음을 통해 직관적으로 그 유용성을 보도록 하겠다.
 전자들이 allowed band의 에너지 상태에 존재하고 있는 특정 물질 A를 고려해보자. EFA보다 아래에 있는 에너지 상태는 대부분 전자로 채워져 있고 EFA보다 위에 있는 에너지 상태는 대부분 비어 있다. 이번에는 전자들이 allowed band의 에너지 상태에 존재하고 있는 다른 물질 B를 생각하자. EFB보다 아래에 있는 에너지 상태는 대부분 전자로 채워져 있고 EFB보다 위에 있는 에너지 상태는 대부분 비어 있다. 이제 이 두 물질이 서로 맞붙게 되면 전자들은 전체 시스템 내에서 가장 낮은 에너지를 찾으려고 할 것이다. 따라서 A 물질의 전자들은 열평형에 이를 때까지 B 물질의 좀 더 낮은 에너지 상태로 흘러 들어갈 것이다. 열평형은 에너지의 함수로 나타나는 전자들의 분포가 두 물질에 걸쳐 같아질 때 나타난다. 이러한 평형 상태는 두 물질의 페르미 에너지가 같을 때 나타난다. 반도체 물리에서 중요한 역할을 하는 페르미 에너지는 반도체 물질 및 소자의 특성을 가시적으로 표현해 줄 수 있는 중요한 역할을 한다.

[소자 제작 기술: 확산 및 이온 주입]
불순물 도핑은 조절된 양의 불순물 도펀트를 반도체에 첨가하는 과정이다. 도핑은 반도체의 전도도를 변화시키고 조절한다. 확산(diffusion)과 이온 주입(ion implantation)은 도핑의 중요한 두 가지 방법이다. 도핑은 반도체 웨이퍼의 성장 과정이나 에피텍셜 성장 공정 중에 행해질 수 있고 또 그렇게 하기도 하지만 확산과 이온 주입은 반도체의 특정 영역을 도핑하는 데 이용된다. 이러한 능력 때문에 단일 반도체 칩 상에 수백만 개의 반도체 소자를 만들 수 있는 것이다.

[불순물 원자 확산]
불순물 원자의 기본적인 확산 공정은 Fick의 첫 번째 확산 법칙(Fick's first law of diffusion)에 의해 기술할 수 있다.
F = -D((round) N/(round) x)
이 식에서 F는 불순물 원자의 유동(#/cm^2/s)이고 N은 불순물 원자 밀도(#/cm^3), D는 확산 계수(diffusion coefficient) 혹은 확산 상수(diffusivity, cm^2/s)이다. 확산 공정의 구동력은 농도 기울기(concentration gradient)이며 유동은 농도 기울기와 직접적인 연관성을 갖는다. 불순물 원자들은 고농도 영역에서 저농도 영역으로 확산한다.
 물질이 소모되거나 새로 생성되지 않는다고 가정하면 연속 방정식(continuity equation)을 쓸 수 있다. 확산 계수는 불순물 도핑 농도와 무관하다고 가정하면, Fick의 확산 방정식(Fick's diffusion equation)을 얻을 수 있다.
 일반적으로 확산 계수 D는 온도의 지수함수로 온도가 올라갈수록 확산 계수도 커진다. 확산한 도펀트 원자들의 분포는 초기 경계 조건의 함수로 주어진다. 두 가지 기본 확산 공정이 있는데 무한 소스(infinite source, 일정한 표면 농도)와 제한 소스(limited source, 일정한 도펀트 원자) 두 가지이다.
 무한 소스 공정은 웨이퍼가 고온(1,200도 정도)의 전기로에 놓여있고 웨이퍼의 주위를 불순물 원자가 포함된 기체가 둘러싸고 있을 때 나타나나. 이때 불순물 원자의 농도는 반도체 표면에서는 일정하다.
 제한 소스 확산 공정은 유한한 수의 불순물 원자가 반도체 표면에 부착될 때 나타난다. 경계 조건은 일정한 수의 불순물 S(#/cm^2)가 x=0, t=0일 때 표면에 존재한다는 것이다.
 IC 공정에서는 일반적으로 두 단계의 확산 공정이 이루어진다. 첫 번째 단계는 전 부착 공정(predeposition)으로서 무한 소스 공정에 의해 얇은 diffusion layer가 웨이퍼 상에 형성된다. 이 과정 후에 드라이브인(drive-in) 확산이 수행되는데 이는 제한 소스 확산 공정이다. 전 부착 공정의 확산 시간은 드라이브인 공정의 확산 시간에 비해 짧고, 전 부착 공정에 의한 불순물 분포는 일반적으로 델타 함수로 나타난다.

 

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