도너(Donor) 및 억셉터(Acceptor)의 통계

우리는 앞에서 특정 에너지 상태가 전자로 채워져 있을 확률인 Fermi-Dirac 분포 함수를 주제로 공부하였다. 이제 이 함수를 다시 생각해보고 확률 통계를 donor와 억셉터 에너지 상태에 적용할 필요가 있다.

[확률 함수]
Fermi-Dirac 확률 함수를 유도할 때 사용했던 한 가지 가정은 오직 하나의 입자만이 하나의 양자 상태에 들어갈 수 있다는 파울리 배타율이었다. 이 파울리 배타율은 donor와 억셉터 상태에도 적용된다.
 Ni 개의 전자와 gi 개의 양자 상태를 고려해 보자. 여기서 첨자 i는 i번째 에너지 준위를 의미한다. 첫 번째 입자를 어디에 넣을 것인지 선택하는 방법은 gi 개만큼 있다. 각각의 donor 준위는 donor 전자에 대해 두 가지의 가능한 스핀 방향을 갖는다. 즉각 donor 준위에는 두 개의 양자 상태가 존재한다. 그러나 전자 한 개가 하나의 양자 상태에 들어가면 다른 전자가 두 번째 양자 상태에 들어가는 것이 불가능해진다. 이는 하나의 전자가 들어가면 원자에 빈자리가 있어야 한다는 조건을 만족해야 하므로 두 번째 전자를 donor 준위에 넣는 것이 불가능해지는 것이다. 따라서 donor 에너지 상태의 donor 준위에 대한 분포 함수는 Fermi-Dirac 함수와는 달라진다.
 많은 경우에서, donor 상태에 남아있는 전자의 농도보다 이온화된 donor의 농도가 중요한 역할을 한다. 억셉터 상태에서의 정공이란 전기적으로 중성이고 여전히 비어있는 결합 자리를 가지고 있는 억셉터 원자에 해당한다. 변수 g는 역시 generate 요소이다. Si와 GaAs의 억셉터 준위에 대한 기저 상태 generate 요소 g는 자세한 밴드 구조를 고려해야 한다.

[완전 이온화 및 동결]
 일반적인 도핑은 10^16/cm^3 정도에 대해 상온에서는 대부분의 donor 불순물 원자들이 conduction band로 전자를 내놓아 기본적으로 donor 상태는 완전히 이온화된다.
 상온에서는 기본적으로 억셉터 원자들의 완전 이온화(complete ionization)도 나타난다. 이는 모든 억셉터 원자들이 valence band에서 전자를 하나씩 받아들여 pa가 0임을 의미한다. 일반적인 억셉터 도핑 농도에서는 각 억셉터 원자 한 개에 하나씩의 정공이 valence band에 형성된다. 
 완전 이온화의 반대 경우는 T=0K에서 발생한다. 절대 온도 0도에서 모든 전자는 가능한 가장 낮은 에너지 상태에 존재한다. 즉 n형 반도체의 경우라면 각각의 donor 상태가 모두 전자를 갖고 있어야 하며 이는 Nd=Nd이고 Nd+=0이 됨을 뜻한다. 따라서 exp[(Ed-EF)/KT]=0이 되어야 한다. T=0K에서 이렇게 되려면 exp(-Inf)=0의 꼴이 되어야 하는데 이는 EF> Ed를 의미한다. 즉 절대 온도 0도에서 페르미 에너지는 donor 에너지 준위보다 위에 있다. p형 반도체도 0K에서는 불순물 원자에 전자들이 존재하지 않으며 페르미 에너지 준위가 억셉터 에너지 상태보다 아래에 있어야 한다. 다양한 에너지 상태 내에 존재하는 전자들의 분포, 그리고 페르미 에너지는 온도에 따라 변화한다.
 생각해보면, 페르미 에너지는 n형의 경우 EC와 Ed의 중간쯤에, p형의 경우 Ea와 eV의 중간쯤에 위치한다. 열에너지에 의해 donor 상태로부터 conduction band로 올라가는 전자가 존재하지 않는데 이러한 효과를 동결(freeze-out)이라고 한다. 마찬가지로 valence band의 전자도 억셉터 상태로 올라가지 않는데 이것도 동결이라고 한다.
 동결이 발생하는 0K와 완전 이온화가 나타나는 300K 사이의 온도에 대해서는 donor나 억셉터 원자의 부분 이온화가 일어난다.

[Carrier 농도-도핑 효과]
 열평형 상태에서 반도체 결정은 전기적으로 중성이다. 전자들은 여러 에너지 상태에 걸쳐 분포하여 양전하와 음전하를 만들어내나 결국 순 전하 밀도는 0이다. 이러한 전하 중성 조건은 불순물 도핑 농도의 함수로 표시되는 열평형 전자 농도 및 정공 농도의 계산에 이용된다. 

[보상 반도체]
보상 반도체(compensated semiconductor)란 같은 영역에 donor와 억셉터 불순물 원자가 동시에 존재하는 것을 말한다. 예를 들어 n형 물질에 억셉터 불순물을 확산하거나 혹은 p형 물질에 donor 불순물을 확산하면 보상 반도체를 얻을 수 있다. n형 보상 반도체는 Nd> Na인 경우이고 p형 보상 반도체는 Na> Nd인 경우이다. Na=Nd의 경우는 완전 보상 반도체의 경우로서 앞으로 서술하겠지만 진성 물질의 특성을 갖게 된다. 보상 반도체는 소자 제작 과정에서 자연스럽게 나타난다.

[평형 전자 농도 및 정공 농도]
전자 및 정공의 농도를 불순물 donor 및 억셉터의 함수로 구하기 위해 전하 중성(charge neutrality) 개념을 사용한다. 반도체 내의 음전하 밀도와 양전하 밀도를 같게 놓는 것이다. 음전하에는 자유 전자 및 이온화된 억셉터의 밀도가 포함된다. 양전하에는 자유 정공 및 이온화된 donor의 밀도가 포함된다.
Donor 불순물 원자를 넣음에 따라 conduction band에서의 전자 농도는 진성 carrier 농도 이상으로 증가한다. 동시에 donor 원자 첨가에 따라 소수 carrier 정공 농도는 진성 carrier 농도 이하로 감소한다. 이는 donor 불순물 원자가 증가하면 이에 따라 donor 전자도 증가하고 결국 가능한 에너지 상태에 존재하는 전자들의 재분포가 발생한다는 것을 고려해야 한다. donor 전자 중 일부가 valence band의 비어있는 상태로 떨어지고 이 과정 중에 진성 정공 중 일부가 사라져 버린다. 따라서 소수 carrier 정공 농도가 감소한다. 동시에 이러한 재분포 때문에 conduction band에서의 순 전자 농도가 단순히 donor 농도와 진성 전자 농도를 합친 것으로 나타나지 않는다.

 

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