불순물 반도체(외인성 반도체, extrinsic semiconductor)에서의 반송자(carrier) 분포

우리는 진성 반도체(intrinsic semiconductor)를 결정 내에 불순물 원자가 없는 물질로 정의했다. 불순물 반도체(extrinsic semiconductor)는 조절된 양의 특정 dopant나 불순물 원자를 첨가하여 열평형 전자 농도나 저공 농도가 진성 carrier 농도와는 다른 반도체를 의미한다. 불순물 반도체에서는 어느 한 종류의 carrier가 다른 종류보다 훨씬 많이 존재한다.

[전자와 정공의 평형 분포]
 donor나 억셉터 불순물 원자를 반도체에 첨가하면 전자나 정공의 분포가 변화한다. Fermi 에너지는 분포 함수와 관련이 있으므로 dopant 원자가 첨가되면 fermi 에너지도 변화한다. Fermi 에너지가 중간차이 값에서 벗어나면 conduction band에서의 전자 밀도나 valence band에서의 정공의 밀도도 변한다. Fermi level이 intrinsic fermi level보다 큰 경우이면 전자 농도가 정공 농도보다 크고 반대인 경우이면 정공 농도가 전자 농도보다 커진다. 전자 밀도가 정공 밀도보다 큰 경우를 n형 반도체라고 하는데 donor 불순물 원자가 첨가된 경우이다. 정공 밀도가 전자 밀도보다 크면 p형 반도체라고 하는데 이 경우에는 억셉터 불순물 원자가 첨가된 것이다. donor나 억셉터 불순물 원자가 첨가되면 페르미 에너지가 변화하고 이에 따라 전자 및 정공의 농도도 변화한다. 불순물 농도 변화에 따른 페르미 준위의 변화는 나중에 볼 것이다.
 donor나 억셉터 불순물을 넣으면 밴드 차이 에너지 내에서 페르미 에너지가 변화하고 이는 다시 n0와 p0를 변화시킨다.
 p형 반도체에서 정공을 다수 carrier(majority carrier)라고 하고 전자를 소수 carrier(minority carrier)라고 한다. n형 반도체에서는 전자가 다수 carrier이고 정공이 소수 carrier이다.

[n 0p 0의 곱]
우리는 열평형 상태의 반도체에 대해 다음과 같은 식이 성립함을 알 수 있다.
n0 p0=Ni^2
위 식은 어떤 반도체에서 온도가 일정하다면 n0와 p0의 곱은 항상 일정함을 의미한다. 이 식은 매우 간단해 보이지만 열평형 반도체의 기본 원리 중 하나이다. 이 식의 중요성은 앞으로 더 명확해질 것이다. 위 식은 볼츠만 근사를 통해 유도한 것임을 기억할 필요가 있다. 만일 볼츠만 근사가 유효하지 않다면 위 식은 유효하지 않다.
 불순물 반도체에는 비록 열적으로 생성되는 carrier가 있다고 하더라도 엄밀히 말하면 진성 carrier 농도는 포함되지 않는다. 진성 전자 및 정공 carrier 농도는 donor나 억셉터 불순물에 의해 수정되어 버린다. 하지만 위 식의 진성 농도 Ni는 단순히 반도체의 일정한 변수로 취급할 수 있다.

[Fermi-Dirac 적분]
열평형 전자 및 정공의 농도를 유도하면서 우리는 볼츠만 근사를 가정하였다. 만일 볼츠만 근사가 성립하지 않는다면 열평형 전자 농도는 바뀌어야 한다. Fermi-Dirac 함수를 새로 정의하여 그림을 그리면, EF> EC가 되고 이때의 페르미 에너지는 실제로 conduction band 내에 존재하게 된다.

[degenerate 및 non degenerate 반도체]
반도체에 도펀트 원자를 첨가할 때 우리는 첨가되는 도펀트 원자의 농도가 이미 존재하는 반도체 원자 밀도와 비교하면 소량이라는 가정을 하고 있었다. 소량의 불순물 원자는 적당히 넓게 퍼져서 n형 반도체를 예로 든다면 donor 전자끼리의 상호 작용은 없다고 생각한다. 우리는 n형 반도체에서는 개별적이며 상호 반응 없는 donor 에너지 상태를 갖는 불순물을, p형 반도체에서는 개별적이며 상호 반응 없는 억셉터 에너지를 상태를 갖는 불순물을 가정하는 것이다. 이러한 반도체를 non degenerate 반도체라고 한다.
 불순물 농도가 증가하면 불순물 원자간 거리가 감소하기 시작하고 donor를 예로 들면 결국 donor 전자가 서로 반응하기 시작하는 순간에 이르게 될 것이다. 이런 일이 생기면 개별적인 단일 donor 에너지는 에너지 밴드로 분리될 것이다. donor의 농도가 더욱 증가하면 donor 상태의 밴드는 더 넓어지며 conduction band 아래의 부분과 겹치게 된다. 이렇게 밴드가 겹치는 현상은 donor 농도가 유효 상태 밀도와 비슷한 수준이 될 때 일어난다. conduction band의 전자 농도가 상태 밀도 NC보다 커지면 페르미 에너지는 conduction band 내에 존재한다. 이러한 반도체를 degenerate n형 반도체라고 한다.
 마찬가지로 p형 반도체에서 억셉터 도핑 농도가 증가하면 개별적인 억셉터 에너지 상태가 에너지 밴드로 분리되고 valence band의 위의 부분과 겹쳐진다. 정공의 농도가 상태 밀도 NV보다 커지면 페르미 에너지는 valence band 내에 존재한다. 이러한 반도체를 degenerate p형 반도체라고 한다.
 degenerate n형 반도체 및 degenerate p형 반도체의 개략적인 에너지 밴드를 그려보면 EF보다 아래에 있는 상태들은 대부분 전자로 채워져 있고 EF보다 위에 있는 상태들은 대부분 비어 있다. degenerate n형 반도체의 경우 EF 와 EC 사이의 상태들은 대부분 전자로 채워져 있고 따라서 conduction band 내 전자 농도가 매우 큰 값으로 나타난다. 마찬가지로 degenerate p형 반도체에서는 eV와 EF 사이의 에너지 상태가 대부분 비어 있으므로 valence band에서의 정공 농도가 매우 높게 나타난다.

 

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