공간 격자 - 기본 셀(Primitive cell)과 단위 셀(Unit cell)

[기본 셀(Primitive cell)과 단위 셀(Unit cell)] 
특정 원자들의 배열은 격자점(lattice point)이라 불리는 점으로 표시할 수 있다. 원자들의 반복적인 배열을 표시할 수 있는 간단한 방법은 점의 이동이다. 각 격자점은 하나의 축 방향으로 1만큼 이동하고 여기에 수직인 다른 축 방향으로 1만큼 이동하여 2차원 격자를 만들어 낼 수 있다. 만일 수직축 방향으로 이동한다면 3차원 격자가 될 것이다. 하지만 이동 축 방향이 반드시 서로 수직일 필요는 없다. 
3차원 격자는 원자들의 규칙적인 반복이므로 굳이 전체 격자를 생각할 필요 없이 반복되는 기본 단위만 고려하면 된다. 단위 셀(Unit cell)이란 전체 결정을 만들어 내는데 필요한 결정의 작은 부피를 의미한다. 단위 셀은 유일하게 결정되는 것이 아니다. 격자에서는 다수의 단위 셀이 표시될 수 있다. 어느 쪽이든 이동 때문에 전체 2차원 격자가 만들어질 수 있다. 2차원 단위 셀에 대한 논의는 그대로 3차원으로 확장되어 실제 단결정 물질에도 적용할 수 있다. 
기본 셀(Primitive cell)이란 단위 셀 중에서 가장 작은 것을 의미한다. 대체로 기본 셀보다 단위 셀을 사용하는 것이 더 편리한 경우가 많다. 예를 들어 단위 셀은 서로 수직인 축 방향을 갖도록 설정하는 것이 가능하지만 기본 셀에서는 서로 수직이 아닌 축 방향을 갖는 경우가 생긴다. 
단위 셀과 격자들 사이의 관계는 3개의 벡터 a, b, c에 의해서 결정되는데, 이때 3개의 벡터는 서로 수직이거나 길이가 같을 필요는 없다. 3차원 결정 내에서 모든 격자점은 아래의 벡터 식을 사용하여 표현될 수 있다. 
r = pa+QB+sc 
여기서 p, q, s는 정수인데, 원점의 위치를 임의로 잡을 수 있으므로 편의상 p, q, s를 양의 정수로 가정할 수 있다. 


[기본적인 결정 구조]
반도체 결정을 주제로 논의하기에 앞서 세 가지 기본 입방(cubic) 구조를 생각해 보자. 단순 입방(simple cubic) 구조, 체심 입방(body-centered cubic) 구조, 면심 입방(face-centered cubic) 구조가 있다. 이러한 구조들에서 단위 셀은 서로 수직이며 길이도 같은 3개의 일반 벡터 a, b, c로 이루어지도록 설정할 수 있다. 단순 입방(SC) 구조는 각 꼭짓점에 원자가 존재하고 체심 입방(BCC) 구조는 꼭짓점 외에 입방체의 중심에 추가로 1개의 원자가 더 있는 구조이며 면심 입방(FCC) 구조는 각 면의 중심에 원자들이 더 있는 구조이다. 
물질의 결정 구조와 격자 크기 등을 알면 원자의 부피 밀도 등과 같은 결정의 몇 가지 특성을 알 수 있다. 원자의 부피 밀도는 단위 셀 내에 있는 원자 수를 단위 셀의 부피로 나누어 주면 된다. 

[결정면과 밀러 지수] 
실제 결정은 무한히 큰 것이 아니므로 결국 표면에서는 끝나게 된다. 반도체 소자는 표면 혹은 표면 근처에 만들어지는 것이므로 표면의 특성은 소자 특성에 영향을 미치게 된다. 이러한 표면을 격자를 이용하여 표현해 보도록 하자. 표면 혹은 결정 내의 면을 표시하기 위해서는 먼저, 격자를 표시하기 위한 3개의 축 a, b, c와 면이 만나는 점들을 고려해 본다. 
면을 표시하기 위해 각 만나는 점들을 다음과 같이 역수로 표시한다. 
(1/p, 1/q, 1/s) 
분모의 최소공배수를 각각 곱하여 얻게 되는 면을 (KHL) 면이라고 부르게 된다. 여기서 K, H, L 등을 밀려 지수라고 한다. 
입방 결정에서는 3개의 면을 주로 고려한다. 밀러 지수를 구할 때 역수를 취하면 어떤 축과 평행한 면을 표시할 때 무한대를 표시하지 않아도 된다는 장점이 있다. 만일 원점을 지나는 어떤 면이 있다면 역수를 취해 얻는 이 면에 대한 밀러 지수는 무한대가 나오게 된다. 그러나 원점의 위치는 임의로 잡을 수 있고 원점을 다른 같은 격자점으로 바꿀 수 있으므로 밀러 지수에 무한대가 나오는 것은 피할 수 있다. 
단순 입방 구조, 체심 입방 구조, 면심 입방 구조 등에는 고도의 대칭성이 존재한다. 각 축을 90도씩 회전할 수 있으며 각각의 격자점들은 수식으로 표현될 수 있다. 
역수를 취하면 밀러 지수를 구할 수 있고 결국이면은 (110) 면이 된다. 
계산으로 구할 수 있는 결정의 특성 중 한 가지는 서로 평행한 최근접 면 사이의 거리이다. 또 다른 특성은 결정을 특정 면으로 잘랐을 때 cm^2당 몇 개의 원자(#/cm^2)가 있는지를 나타내는 원자 표면 농도이다. 이미 언급한 바와 같이 단결정 반도체는 무한히 큰 물질이 아니고 표면에서 끝이 나야 하므로 이러한 표면 농도는 중요한 의미가 있다. 예를 들어 반도체 상에 다른 물질인 절연체가 어떤 식으로 서로 들어맞게 되는지 등을 결정하는 데에 중요하게 이용된다. 
격자 내에서의 결정면과 더불어 결정 방향도 표시할 수 있다. 이는 그 방향으로의 벡터 성분인 3개의 정수로 표현할 수 있다. 예를 들어 단순 입방 격자에서 입방체의 대각선 방향은 1, 1, 1의 벡터 성분을 갖는데, 이 방향을 [111] 으로 표시한다. 여기서 대괄호를 사용하는 것은 결정면을 표시할 때 괄호를 쓰는 것과 구분하기 위해서이다. 이러한 수직 관계는 입방 구조가 아닌 경우에는 성립하지 않는다. 

[다이아몬드 구조] 
이미 기술했듯이 Si는 가장 많이 사용되는 반도체 물질로서 IV 족 원소이며 다이아몬드 결정 구조를 갖는다. Ge 역시 IV 족이면서 다이아몬드 구조이다. 다이아몬드 구조에서의 단위 셀은 지금까지 공부한 단순 입방 구조보다 훨씬 복잡한 형태이다. 
다이아몬드 격자를 이해하기 위해서는 사면체(tetrahedral) 구조로부터 출발해 보자. 이 구조는 기본적으로 채신 입방체(BCC)에서 4개의 꼭짓점 원자를 제외한 형태이다. 사면체 구조에서 각 원자는 4개의 최근접 원자를 가지며 이 구조가 다이아몬드 구조를 만드는 기본 블록이 된다. 
다이아몬드 구조를 시각화하는 방법은 몇 가지가 있는데 그중 하나는 다이아몬드 격자의 일부를 상상함으로 좀 더 잘 이해하는 방법이다. 다이아몬드 격자의 중요한 특징은 다이아몬드 구조 내의 모든 원자가 4개의 최근접 원자를 갖는다는 것이다.

 

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