평형 상태의 반도체

[평형 상태의 반도체]
앞에서 설명한 개념들을 반도체에 적용하여 생각할 것이다. 특히 conduction band에서의 전자 농도와 valence band에서의 정공 농도를 결정하는 데에 Fermi-Dirac 확률 함수와 함께 conduction band 및 valence band에서의 양자 상태 밀도를 이용할 것이다. 또한, 페르미 에너지의 개념도 반도체에 적용할 것이다.
 평형 상태의 반도체도 다룰 것이다. 평형, 즉 열평형 상태란 전압, 전계, 온도 기울기 등과 같은 외부의 힘이 반도체에 작용하고 있지 않은 상태를 의미한다. 이 경우 모든 반도체 성질들은 시간에 무관하다. 평형은 반도체 물리를 공부하는 데 있어 출발점이 된다. 이로부터 반도체에 전압이 인가되는 경우와 같이 평형이 깨질 때 나타나는 특성들도 결정할 수 있다.

[역사적 시각]
반도체 소자의 특성은 주로 반도체의 전도도에 의해 결정된다. 반도체의 전도도는 특정 불순물의 농도를 조절함으로써 약 10 오더(10^10) 정도의 범위(좋은 전도체로부터 좋은 절연체에 이르기까지)에서 변화될 수 있다. 이러한 불순물을 반도체에 넣어주는 공정을 도핑(doping)이라고 한다. 확산 기술에 의한 Si에서의 도핑 공정은 1952년 W. G. Pfann에 의해 특허를 얻었고, 이온 주입 공정에 의한 도핑 공정은 1958년 W.Shockley가 제안하였다.

[현대적 시각]
도핑 공정, 특히 이온 주입 공정은 반도체 소자 제작 과정의 핵심적인 부분이다. 반도체 웨이퍼 표면 근처의 특정 영역만을 한 종류의 불순물 원자로 도핑하고 바로 옆의 다른 영역은 또 다른 불순물로 도핑하는 것이 가능하다. 이렇게 전도도 유형을 짧은 거리에서 바꿀 가능성이, 수백만 개의 반도체 소자를 단일 집적 회로로서 제작할 수 있는 기본적인 이유 중 하나가 되는 것이다.

[반도체에서의 전하 carrier]
전류는 전하가 흘러가는 비율을 의미한다. 반도체에는 전류에 이바지할 수 있는 두 종류의 전하 carrier, 즉 전자와 정공이 존재한다. 반도체에서의 전류는 대개 conduction band에서의 전자의 수 및 valence band에서의 정공의 수에 의해 결정되므로 이러한 전하 carrier의 밀도는 반도체의 중요한 특성이 된다. 전자와 정공의 밀도는 이미 공부한 바 있는 상태 밀도 함수 및 Fermi-Dirac 분포 함수와 관련이 있다. 이러한 연관성에 대한 정성적인 논의와 더불어 전자와 정공의 열평형 농도를 보다 엄밀하게 수학적으로 유도할 것이다.

[전자와 정공의 평형 분포]
conduction band 내 전자의 분포는 가능한 양자 상태 밀도 곱하기 그 상태를 전자가 채우고 있을 확률로 표시할 수 있다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.
n(E) = GC(E) FF(E)
여기서 FF(E)는 Fermi-Dirac 확률 함수이고, GC(E)는 conduction band에서의 양자 상태 밀도이다. n(E)의 단위는 cm^3당 단위 에너지당 전자의 수(#)이다. 따라서 conduction band 내 단위 부피당 총 전자 농도는 위 식을 conduction band 에너지 전체 영역에 대해 적분하면 얻을 수 있다.
 같은 방법으로 valence band 내 전공의 분포는 valence band의 가능한 양자 상태 밀도 곱하기 그 상태가 비어 있을 확률로 표시할 수 있다. 
 열평형 전자 농도 및 정공 농도를 구하기 위해서는 페르미 에너지 EF의 위치를, conduction band 에너지의 바닥 EC 및 valence band 에너지의 꼭대기 eV를 기준으로 나타낼 필요가 있다. 이 문제에 접근하기 위해 먼저 진성 반도체(intrinsic semiconductor)를 생각해보자. 이상적인 진성 반도체란 불순물 원자나 결정 내 격자 결함이 없는 순수한 반도체를 뜻한다. 우리는 앞에서 T = 0K인 진성 반도체는 valence band의 모든 에너지 상태가 전자로 채워져 있고 conduction band의 모든 에너지 상태는 비어 있음을 살펴본 바 있다. 따라서 페르미 에너지는 EC와 eV 사이의 어딘가에 존재해야 한다. 페르미 에너지가 반드시 가운데에 있을 필요는 없다.
 온도가 0K 이상으로 올라가기 시작하면 가전사들은 열에너지를 얻게 되고 이 중 일부는 valence band로부터 conduction band로 뛰어 올라간다. 전자가 valence band에서 conduction band로 올라가면 valence band에는 빈 상태, 즉 정공이 만들어진다. 즉 진성 반도체에서는 열에너지에 의한 전자와 정공이 쌍으로 만들어지고 따라서 conduction band의 전자의 수와 valence band의 정공의 수는 같은 수가 된다.
 전자 분포의 그래프가 만들어내는 면적은 conduction band 내 총 전자 밀도(#/cm^3)에 해당한다. 정공 분포의 그래프가 만들어내는 면적은 valence band 내 총 정공 밀도(#/cm^3)에 해당한다. 이로부터 GC(E)와 관객과 대화(E)가 서로 대칭이라면 전자와 정공의 농도가 같아야 하므로 페르미 에너지가 밴드 격차의 정 중앙에 있어야 한다는 것을 알 수 있다. 만일 전자와 정공의 유효 질량이 정확하게 같지 않다면 유효 상태 밀도 함수 GC(E)와 관객과 대화(E)는 밴드 차이 중앙에 대해 정확하게 대칭이 되지는 않을 것이다. 즉 전자와 정공의 농도가 같아지도록 진성 반도체의 페르미 준위가 밴드 차이의 정 중앙으로부터 약간 벗어날 것이다.

[진성 carrier 농도]
진성 반도체의 경우, conduction band 내 전자의 농도는 valence band 내 전공의 농도와 같다. 진성 반도체에서의 전자의 농도 및 정공의 농도를 각각 Ni, pi라 표시하고 이를 일반적인 진성 전자 농도 및 진성 정공 농도로 사용한다. 그러나 Ni=pi이므로 대개는 간단히 Ni를 진성 carrier 농도(intrinsic carrier concentration)라고 하는데 이는 진성 전자 농도 혹은 진성 정공 농도를 의미한다.
 진성 carrier 농도는 온도에 의해 매우 큰 영향을 받는다.

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