에너지 양자화 및 확률 개념

[주기율표]
주기율표의 시작 부분에 있는 원소들은 1개의 전자를 갖는 원자에 추가적인 두 가지 개념을 이용하여 결정할 수 있다. 첫 번째 필요한 개념은 전자스핀(electron spin)이다. 전자는 양자화되어 있고 두 가지 값 중 하나를 취할 수 있는 고유의 각운동량, 즉 스핀을 가지고 있다. 스핀은 양자수 s로 표현하고 +1/2이나 -1/2의 값을 갖는다. 따라서 이제 n, l, m, s, 4개의 기본 양자수가 존재한다.
두 번째 개념은 파울리 배타율(Pauli exclusion principle)이다. 파울리 배타율이란 임의의 주어진 시스템(원자, 분자, 결정)에서 2개 이상의 전자가 같은 양자 상태를 가질 수 없다는 것을 의미한다. 우리는 이 배타율이, 전자들이 결정 내의 가능한 에너지 상태에 어떻게 분포하는지를 결정하는 데에 중요한 요소로 작용함을 살펴보게 될 것이다.
주기율표상의 처음 몇 개 원소들이 정리되어 있다. 첫 번째 원소인 수소를 보면 n=1에 해당하는 가장 낮은 에너지 상태에 1개의 전자가 있음을 알 수 있다. 이때의 두 양자수 l과 m은 모두 0이어야 한다. 그러나 스핀 값은 +1/2이나 -1/2중 어느 하나를 취할 수 있다. 헬륨의 경우에는 2개의 전자가 가장 낮은 에너지 상태에 존재한다. 이 경우 l=m=0이고 따라서 2개의 전자스핀이 모두 채워져 가장 낮은 에너지 껍질은 꽉 찬 상태가 된다. 원소의 화학적 반응성은 주로 가전사, 최외각 전자 등에 의해 결정되는데, 헬륨의 경우 바깥쪽 에너지 껍질이 꽉 차 있으므로 다른 원소와 쉽게 반응하지 않는 불활성(inert) 원소가 된다.
세 번째 원소 리튬은 3개의 전자를 갖는다. 따라서 n=2에 해당하는 세 번째 전자는 두 번째 에너지 껍질로 가야 한다. n=2일 때 양자수 l은 0이거나 1이고, l=1이면 양자수 m은 -1, 0, +1 등이 가능하다. 각각의 경우 전자스핀은 +1/2이거나 -1/2이다. 결국=2이면 총 8개의 양자 상태가 가능해진다. 네온은 10개의 전자를 갖는다. 2개의 전자는 n=1인 에너지 껍질에 존재하고 8개는 n=2인 껍질에 존재한다. 두 번째 껍질이 모두 채워져 있으므로 네온 역시 불활성 원소에 해당한다.
1개의 전자를 갖는 원자에 대한 슈뢰딩거 파동 방정식의 해와 함께, 전자스핀과 파울리 배타율 등의 개념을 조합하면 원소들의 주기율표를 만들어나갈 수 있다. 이러한 결과는 슈뢰딩거 방정식의 해를 통해 결정 내 전자들의 움직임을 예측할 수 있음을 의미한다. 원소들의 원자 번호가 커짐에 따라 전자들이 다른 전자들과 상호 반응하기 시작하고 따라서 주기율표의 완성은 위의 간단한 방법으로부터 달라진다.

[에너지 밴드 이론]
우리는 1개의 전자를 갖는 수소 원자에 대해 생각해 보고, 속박된 전자의 에너지는 불연속적인 값만을 가질 수 있다는, 즉 양자화되어 있다는 것을 알았다. 전자에 대한 방사상 확률 밀도에 대해서도 논의하였다. 이 함수는 원자핵에서 특정 거리만큼 떨어진 위치에 전자가 존재할 확률을 의미하고 전자가 일정 반경으로 국한되어 있지 않음을 보여준다. 우리는 이제 이러한 단일 원자에 관한 결과를 결정으로 확대하여 에너지 밴드의 허용대와 금지대의 개념을 정성적으로 유도할 것이다. 이를 통해 전자가 존재할 수 있는 에너지 상태는 허용 대의 형태로 나타나고 금지 대에 의해 분리되어 있음을 알게 될 것이다.

[에너지 밴드의 형성]
상호 반응 없이 독립적으로 존재하는 하나의 수소 원자의 가장 낮은 전자 에너지 상태에 대한 방사상 확률 밀도 함수를 생각해보자. 이러한 수소 원자 2개가 서로 근접했을 때의 확률 밀도 함수는 두 원자의 파동 함수가 겹쳐지고 이는 2개의 전자가 상호 작용하게 됨을 의미한다. 이러한 상호 작용 혹은 교란 때문에 양자화된 하나의 에너지 준위는 2개의 준위로 나누어진다. 1개의 준위가 둘로 나뉘는 것은 파울리 배타율에 부합하는 결과이다.
상호 작용하는 입자 간에 에너지 준위가 분리되는 현상을 다음과 같이 비유할 수 있다. 두 대의 같은 경주용 자동차가 트랙 상에서 서로 떨어져 있다고 생각해 보자. 자동차들 사이에는 상호 작용이 없으므로 일정한 속도를 얻기 위해서는 같은 출력이 필요할 것이다. 그러나 한 대의 차가 다른 차에 근접하여 잡아당기며 가고 있다면 견인(draft)이라는 상호 작용이 발생한다. 이때에는 앞의 차가 뒤의 차를 어느 정도 잡아당기고 있을 것이다. 따라서 앞의 차는 같은 속도를 내기 위해 출력을 더 높일 필요가 있다. 한편 뒤의 차는 앞의 차가 잡아당기고 있으므로 같은 속력을 위해서는 출력을 조금 낮추어도 된다. 즉 두 대의 상호 작용하는 자동차에는 출력(에너지)의 분리 현상이 나타나는 것이다.
이제 서로 멀리 떨어져 있는 수소 형태의 원자들을 서로 가까이 위치시켜 규칙적인 기하학적 배열을 만들기 시작하면 초기의 양자화 된 에너지 준위들이 분리되기 시작하여 불연속적인 에너지 준위들의 띠(밴드)를 형성할 것이다. 평형 상태 원자간 거리 위치에는 허용된 에너지들의 밴드가 존재하는데 허용 가능한 밴드 내의 에너지들은 전부 이산적인 별개의 에너지 준위들이다. 파울리 배타율에 의하면 원자들을 결합하여 시스템(결정)을 구성할 때 크기와 관계없이 양자 상태의 총수는 변화하지 않는다. 그러나 2개 이상의 전자가 같은 양자 상태를 가질 수 없으므로 개별적인 에너지가 에너지 밴드로 분리되어 각각의 전자들이 서로 다른 이상적인 개별 에너지 상태를 차지할 수 있게 되는 것이다.

 

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